Aranymetszés és harmadolás

Bevezetés:

Aki rápillant a bejegyzésre és szembetalálja magát a számok és a geometriai ábrák sokaságával, azt azonnal kiveri a víz, az egekbe szökik a hőmérséklete és riadtan nyúl az egér után, hogy fejvesztve iszkoljon el az oldalról. Pedig fölösleges. Mondanivalómat ugyanis alig lesz nehezebb megemészteni, mint egy tic-tacot!

És feltétlenül könnyebben megy majd, mint sárkányt eregetni! Ezért aztán ha egy kicsit is érdekel az aranymetszés és a harmadoló szerelmi viszonyának bűvös titka, biztos lehetsz benne, hogy itt a helyed!

(Annak, akit sért az egyszerű fogalmazás, ami figyelmen kívül hagyja az ő többre érdemes szellemi potenciálját, javaslom inkább A zebra, mint a létezés formáinak kifejezője című hiánypótló tanulmányt.)

Tárgyalás
Minden valamire való szakmának vannak olyan varázsigéi, amelyeket kimondva kiugrik a nyúl a kalapból, mialatt a többi avatatlan néző csak ámuldozva bámulja a csodát. Ilyen varázsszó a fotózásban (és nem csak ott) a misztikus csengésű aranymetszés. Ha vesszük a fáradságot, és utánanézünk a neten, akkor olyan borzalmas levezetésekbe, képletekbe és ábrákba ütközünk, amelyek láttán elmegy a kedvünk még a gyereknemzéstől is. Mint pl. ez:

Na ez az, amivel mi itt most 

nem foglalkozunk! 

A dolog ugyanis sokkal egyszerűbb annál, mint amit a képlet alapján gondolnánk!

Minden fotós tudja, hogy a kép valamelyik elemét (mondjuk a főtémát) muszáj az aranymetszésbe helyezni. Aki nem ezt teszi, annak kihullik a haja, képeit a szemétdombra hajítja a kegyetlen utókor, és még a hajléktalan is utánaköp az utcán. Aki viszont hajlandó az aranymetszés oltárán áldozni, arra még a földi életben a Mennyei Paradicsom boldogsága vár, és a védekezés nélküli, mégis biztonságos szerelmi együttlét végkifejletének áldása öleli át napjait.

Szánjuk hát rá magunkat, és lépjünk közelebb a titkot rejtő asztalkához! Ám még mielőtt magába a fiókba bekukkantanánk, ne legyünk restek, hajoljunk a földig és nézzük meg az asztallábat is! Ami pedig nem más, mint egy különleges számsor, amelynek (majdnem) minden eleme azonos az őt megelőző két elem összegével.

Máris hétrét görnyedtünk a fájdalomtól e definíciót olvasván! Hát még ha netán azt is meghalljuk, hogy valami Fibonacci-sorozatról van szó! Ezért ezt inkább meg se halljuk! Mielőtt orvosért kiáltanánk, küldjünk be gyorsan egy fájdalomcsillapítót! Két egyszerű számot:

0 és 1

Ugye, nem is fáj?

Mikor már magunkhoz tértünk az egyszerűség fölötti örömünk okozta megkönnyebbülésből, gyorsan adjuk össze a két utolsó számot! Melyik a két utolsó szám? Hát a nulla, meg az egy! Na jó, persze hogy ez a két első szám is egyben - de hát kekeckedünk vagy számolunk? Szóval az összeadás:

0+1=1

Ezt az eredményt pedig tekintsük megkezdett számsorunk következő elemének. A számsor tehát már így néz ki:

0 , 1 , 1 

Adjuk össze megint a két utolsó számot:

1+1=2

Számsorunk szépen bővül, már négy eleme van:

0 , 1 , 1 , 2 

Folytassam még? Szerintem ennyi is elég, hogy megértsük az összefüggést: ha mindig összeadjuk a két utolsó számot, megkapjuk a számsor következő tagját. Néhányszor megismételve a műveletet a következőket kapjuk:

0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34, 55 , 89 ,... stb

(Csak a teljességet keresők kedvéért jegyzem meg: korábban azt írtam, a számsor "majdnem" minden eleme a megelőző két szám összegével egyezik meg. Látható, hogy azért "majdnem", mert az első két szám - a nulla és az egy - előtt már nincsenek további számok, amelyekből levezethetnénk őket.)

A számok egy részét pirossal írtam.Miért? Figyelemfelkeltésül. Élükön ugyanis ott díszeleg a babonás 13-as, amelyről mindenki tudja, hogy elátkozott szám! Bajt hoz ránk, a fogunk megsárgul tőle, és még az öttalálatos lottószelvényünket is kifújja a kezünkből a szél, ha összetalálkozunk vele. Jobb tehát elkerülni. És ugyanúgy óvakodjunk az összes többi számtól, ami mögötte sorakozik! Hiszen nyilvánvalóan rájuk vetül az ördögi 13-as halottidéző árnyéka.

Viszont most, hogy ismerjük a számsorozatot, eljött az idő, hogy válasszunk magunknak csillagot! Vagyis számot a sorozatból. Mivel mi szeretjük minden jóból a legnagyobbat kapni, vegyük az utolsó (nem megbabonázott) számokat:

3 , 5 , 8

Ezek lesznek a mi varázsigéink, amelyekkel elővarázsoljuk a nyulat a kalapból!

(Na jó, ez az egész számcirkusz a 13-as körül mind nem igaz. Csak vicceltem. De akkor is ezt a fenti három számot fogjuk használni...)

Kedves Hölgyeim és Uraim, Mélyen Tisztelt Publikum! Végre elérkeztünk oda, ahol a fényképezőgép nézőkéje kezdődik!

Ha veszünk egy olyan négyzetet, ami 8 x 8 apróbb négyzetből áll, akkor máris tetemre hívtuk a számsorunk bűvös nyolcasát:

Ez már akár egy négyzetes képkivágásnak is tekinthető, nem? Játszunk el vele egy kicsit! Hiszen van nekünk még két számunk, a 3 meg az 5! Ugye, emlékszünk, hogyan függenek össze a számaink? Így: 3+5=8. Osszuk hát fel a négyzetet ennek megfelelően, és az osztásnál húzzunk egy függőleges vonalat:

Nem csináltunk mást, mint a négyzet 3/8-adánál húztunk egy függőlegest. Tegyük meg ugyanezt vízszintesen is:

És már meg is érkeztünk! Íme a híres-neves aranymetszés, pontosan a két vonal találkozásánál! 

Hogy miért pont ott? Ha ennyire felbuzog bennünk a kíváncsiság, akkor vegyük szemügyre az alábbi képletet:

 ...és tegyük fel a kérdést: biztos, hogy minden részletét akarjuk mi ennek tudni? Nem elég nekünk annyi, hogy az aranymetszés a két 3/8-nál meghúzott vonal keresztezésénél található? (Lehet, hogy nem. Aki többet is szeretne erről tudni, az olvassa el a CSAK ERŐS IDEGZETŰEKNEK szóló záró fejezetet.)

További kérdezősködés helyett most inkább térjünk vissza a négyzetünkhöz! Nem kell sokat gondolkoznunk, hogy belássuk: a négyzet ilyenfajta felosztását továbbfolytathatjuk két újabb vonal meghúzásával:

Itt tehát már négy pontunk is van az aranymetszésben (A-B-C-D) - ennyi az összes, többet ne is keressünk.

Na most aztán kint vagyunk a vízből! Ki a fene tudja a nézőkén látott képet képzeletben 8 részre osztani, és a 3/8-nál vonalakat huzigálni? Senki!

De szerencsére van egy bűvésztrükkünk, egy cinkelt lap a mandzsettánkban, amivel megoldhatjuk a problémát! Ez pedig nem más, mint a harmadoló! A harmadolás ugyan nem egészen aranymetszés, de majdnem olyan. Jogos a kérdés, hogy miért...

Nézzük csak meg, hogy mi történik, ha 8 x 8 apró kockából álló négyzetünket még egy oszloppal, és még egy sorral kiegészítjük (és hagyjuk benne az egyik aranymetszés helyét is):

Ha rendesen bekockázzuk, nem csak úgy elmaszatolva, akkor egy 9 x 9-es négyzetet kapunk:

Amikor további logikus magyarázattal már nem tudjuk ráirányítani valamire a figyelmet, akkor jön az, amit a matematikusok oly igen nagyon szeretnek. Amikor az egyik ember lát valamit, mert tudja, hogy mit kell látnia, míg a másik, a tudatlan, nem látja, amit a másik lát. Ezen segít a "vegyük észre-metódus". 

Lehet, hogy a pokolra kerülök érte, de most én is segítségül hívom az ördög eme csábító kísértését.

Ezért aztán azt mondom: vegyük észre, hogy a 9 részből álló négyzetet a két vonal éppen a harmadánál metszi! Az egyik vonal vízszintesen harmadol, a másik pedig függőlegesen. Végső soron logikus: ha eddig a  3/8-nál volt a metszéspont, akkor most a 3/9-nél lesz. Azt pedig még elemiből tudjuk, hogy 3/9=1/3. Vagyis itt kerül elő nekünk az egyharmad. Más néven a harmadoló!

Ha behúzzuk a többi harmadolót is, akkor minden metszéspontot megkapunk :

Kerüljünk még egy kicsit közelebb a fotózáshoz! A négyzetet alakítsuk át a DSLR-fényképezőgépek 3:2 képarányára (elnyújtva az előző ábrát), és máris úgy érezzük magunkat, mintha lekerültünk volna a lélegeztető gépről:

A fényképezőgép-gyártók szerencsére megteszik nekünk azt a szívességet, hogy láthatóvá varázsolják ezeket a vonalakat, nekünk pedig nincs más dolgunk, mint a metszéspontok valamelyikéhez illeszteni a témánkat.

Ezzel pedig - nem csalás, nem ámítás! - előhúztuk a nyuszit a kalapból! Mert a harmadoló nem egy tökéletes aranymetszés ugyan, de már majdnem az. Olyan, mint a magyar narancs: kicsit hóka, kicsit savanyú, de a miénk. És különben is, gondoljunk bele: ha mi - akik pedig igen okosak és felkészültek vagyunk - nem tudjuk kiszámolni magunkban, hogy hova is esik az a fránya 3/8, akkor az egyszerű ember hogyan tudná? Jó lesz neki a 3/9 is! Ezért aztán veregessük meg a vállunkat, és harmadoljunk bátran!

De azért jobb, ha nem feledjük: ennyi még nem lesz elég ahhoz, hogy mi kapjuk a legnagyobb süteményt!

Befejezés: (CSAK ERŐS IDEGZETŰEK RÉSZÉRE!)
Rettegek a vádtól, miszerint az érthetőség kedvéért kontár módon eltértem a hivatalos matematikai levezetéstől. Ami pedig szigorúan rögzíti, hogy az aranymetszés egy arányosság, amiről akkor beszélünk, ha két rész (a és b) esetén a+b úgy aránylik a hosszabbik részhez (mondjuk a-hoz), ahogy a hosszabbik rész (a) aránylik a rövidebbikhez (b).

Az átlagember ezzel rendszerint jól ki van segítve. Éppen ezért hogy jobban értsük: a bejegyzésben használt példánál maradva aranymetszés esetén a 8:5=5:3. Erről pedig rövid úton meggyőződhetünk, hogy nem igaz! Majdnem azonosak, de mégsem. Az egyik 1,6, másik 1,66. Az aranymetszésre jellemző arányszám pedig se nem 1,6 se nem 1,66 - az igazi érték éppen a kettő között van, kb. 1,618 (és a további tizedesek). Nyilvánvaló tehát, hogy csaltam. Csaltam annak érdekében, hogy érthetővé tegyem az aranymetszést (úgy körülbelül) és azt, hogy a fotózásnál miért áll közel a harmadoláshoz. Ráadásul látható, hogy nem is 3/8-ról kellene beszélnünk, hanem 8/5-ről és 5/3-ról! Na de úgy ki értené meg a hasonlóságot a harmadolóval?

Természetesen az sem véletlen, hogy az említett Fibonacci-sorozatból indultam ki. Ennek a sorozatnak ugyanis csak egyik érdekes tulajdonsága a 3, 5 , 8 számok (és a többi elem) esetében a 3+5=8 jellegű összefüggés (vagyis hogy a 3. elemtől kezdve minden elem az előző két elem összegével megegyező szám), van egy másik csudasága is! Ha elkezdjük a szomszéd elemeket (magyarul számokat) elosztani egymással, akkor ilyesmire lelünk:

5:3=1,6666
8:5=1,6
13:8=1,625
21:13=1,6153
34:21=1,619

Látszólag összevissza ugráló számok. De csak látszólag! Egy koordinátarendszerben ugyanis így néznek ki:

Ezen jól látszik, hogy a hányadosok értéke váltakozva kisebbek, vagy nagyobbak az aranymetszésre jellemző 1,618-nál. A Fibonacci-sorozatból minél nagyobb számokat osztunk el egymással, annál közelebb kerül az eredmény az 1,618-hoz. De ez az eredmény olyan, mint Zorán számában a két kőszobor: sosem éri el! Soha nem lesz a két szám hányadosa azonos 1,618-cal. Hiába no, itt bizony csak az arany(metszés) az, ami fénylik!

A téma szerteágazó, és igazi csemegéje a reál elméknek. Fibonacci-sorozat, Lucas-sorozat, Fibonacci-négyzetek, és -spirálok, megspékelve azzal, hogy a Fibonacci-sorozatot még Bartók zenéjében is fel lehet lelni. Nos és persze a természetben! Hiszen ott vannak a növények, amelyek virágszirmainak száma 5-8-13-21, stb! Hogy az aranymetszés geometriájáról már ne is beszéljünk.

Egyszóval szép dolog ez a matematika! Mert milyen jó például elemi matektudással is megérteni, hogy ha egy kocsmában 4-en üldögélnek és kimegy 8 ember, akkor 4-nek vissza kell mennie ahhoz, hogy senki se legyen a kocsmában!

Bár ez egy marhaság. Egy kocsmában mindig ül valaki...

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Aki tovább szeretné főzni a levest, annak íme a hozzávalók:

Wikipédia - aranymetszés
Wikipédia - Fibonacci-sorozat